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\documentclass{article}

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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{tikz}
\usepackage[plain]{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}

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%
% Basic Document Settings
%

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\oddsidemargin=0in
\textwidth=6.5in
\textheight=9.0in
\headsep=0.25in

\linespread{1.1}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\hmwkAuthorName}
\chead{\hmwkClass\ (\hmwkClassInstructor\ \hmwkClassTime): \hmwkTitle}
\rhead{\firstxmark}
\lfoot{\lastxmark}
\cfoot{\thepage}

\renewcommand\headrulewidth{0.4pt}
\renewcommand\footrulewidth{0.4pt}

\setlength\parindent{0pt}

%
% Create Problem Sections
%

\newcommand{\enterProblemHeader}[1]{
    \nobreak\extramarks{}{问题 \arabic{#1} continued on next page\ldots}\nobreak{}
    \nobreak\extramarks{问题 \arabic{#1} (continued)}{问题 \arabic{#1} continued on next page\ldots}\nobreak{}
}

\newcommand{\exitProblemHeader}[1]{
    \nobreak\extramarks{问题 \arabic{#1} (continued)}{问题 \arabic{#1} continued on next page\ldots}\nobreak{}
    \stepcounter{#1}
    \nobreak\extramarks{问题 \arabic{#1}}{}\nobreak{}
}

\setcounter{secnumdepth}{0}
\newcounter{partCounter}
\newcounter{homeworkProblemCounter}
\setcounter{homeworkProblemCounter}{1}
\nobreak\extramarks{问题 \arabic{homeworkProblemCounter}}{}\nobreak{}

%
% Homework Problem Environment
%
% This environment takes an optional argument. When given, it will adjust the
% problem counter. This is useful for when the problems given for your
% assignment aren't sequential. See the last 3 problems of this template for an
% example.
%
\newenvironment{homeworkProblem}[1][-1]{
    \ifnum#1>0
        \setcounter{homeworkProblemCounter}{#1}
    \fi
    \section{问题 \arabic{homeworkProblemCounter}}
    \setcounter{partCounter}{1}
    \enterProblemHeader{homeworkProblemCounter}
}{
    \exitProblemHeader{homeworkProblemCounter}
}

%
% Homework Details
%   - Title
%   - Due date
%   - Class
%   - Section/Time
%   - Instructor
%   - Author
%

\newcommand{\hmwkTitle}{课后作业\ \#1}
\newcommand{\hmwkDueDate}{2021年9月22日}
\newcommand{\hmwkClass}{金融随机分析II}
\newcommand{\hmwkClassTime}{二叉树资产定价模型}
\newcommand{\hmwkClassInstructor}{}
\newcommand{\hmwkAuthorName}{\textbf{} \and \textbf{}}

%
% Title Page
%

\title{
    \vspace{2in}
    \textmd{\textbf{\hmwkClass:\ \hmwkTitle}}\\
    \normalsize\vspace{0.1in}\small{作业截止时间：\ \hmwkDueDate\ 上午 11:59}\\
    \vspace{0.1in}\large{\textit{\hmwkClassInstructor\ \hmwkClassTime}}
    \vspace{3in}
}

\author{\hmwkAuthorName}
\date{}

\renewcommand{\part}[1]{\textbf{\large Part \Alph{partCounter}}\stepcounter{partCounter}\\}

%
% Various Helper Commands
%

% Useful for algorithms
\newcommand{\alg}[1]{\textsc{\bfseries \footnotesize #1}}

% For derivatives
\newcommand{\deriv}[1]{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (#1)}

% For partial derivatives
\newcommand{\pderiv}[2]{\frac{\partial}{\partial #1} (#2)}

% Integral dx
\newcommand{\dx}{\mathrm{d}x}

% Alias for the Solution section header
\newcommand{\solution}{\textbf{\large Solution}}

% Probability commands: Expectation, Variance, Covariance, Bias
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}
\newcommand{\Cov}{\mathrm{Cov}}
\newcommand{\Bias}{\mathrm{Bias}}

\begin{document}

\maketitle

\pagebreak

\begin{homeworkProblem}
      设有这样一个以某股票为标的资产的3月期欧式买入期权，
      股票现行的市场价格为 30 元，期权确定的执行价格为 31 元。
      设已知3个月后股票价格要么上升 10\%，要么下降 10\%.
      市场的无风险利率为 10\% (年利率)，试确定该期权的价格。
\end{homeworkProblem}

% \pagebreak

\begin{homeworkProblem}
  假设在单时段二叉树模型中，$H$ 和 $T$ 发生的概率均为正。
  证明条件 \eqref{eq:exe_1_1} 排除了套利。
  \begin{equation}\label{eq:exe_1_1}
      0 < d < 1 + r < u
  \end{equation}  
换言之，证明：
如果 $X_0=0$ 且
\begin{equation}\label{eq:exe_1_1_2}
  X_1 = \Delta_0 S_1 + (1 + r)(X_0 - \Delta_0 S_0)
\end{equation}
则 $X_1$ 不能以正概率取严格正值，除非 $X_1$ 也以正概率取严格负值，并且这一
结果与数 $\Delta_0$ 的选择无关。
\end{homeworkProblem}

\begin{homeworkProblem}
假设在课上讲的例子中，期权在时刻 0 的售价为 1.2.
考虑某个投资者以初始财富 $X_0=0$ 开始
在时刻 0 买入 $\Delta_0$ 份股票和 $\Gamma_0$ 份期权。
数$\Delta_0$ 和 $\Gamma_0$ 可正可负，也可以为零。
这样，该投资者的现金头寸为 $4\Delta_0 - 1.20$。
如果这是正值，就在货币市场进行投资；如果是负值，它就
表示从货币市场贷款的金额。
在时刻1，投资者的股票期权和货币市场资产组合的价值为:
\begin{equation}\label{eq:exe_1_2}
  X_1 =
  \Delta_0S_1 + \Gamma_0 (S_1-5)^+ - \frac{5}{4}\left(4\Delta_0 + 1.20\Gamma_0\right).
\end{equation}
假设 $H$ 和 $T$ 发生的概率均为正。
证明：如果 $X_1$ 有正的概率取正值，
那么 $X_1$ 也有正的概率取负值。
换言之，当时刻0的期权价格为1.20时排除了套利。
\end{homeworkProblem}

\end{document}
